H22.10一般昼追の都立職業能力開発センター試験の数学問題

実は、９月16日に都立職業能力開発センター試験を受けました。
（追記：今日、合格通知がきましたよ！　とりあえず、やったー！）
この試験は、国語15問と数学15問を合わせて30分で行います。
レベルは、小学校高学年レベルから徐々に難しくなって中学卒業レベルまでの問題が並んでします。

で、国語の漢字書き取り問題は、殆んど書けませんでした（泣）。
また、数学の文章問題も30分以内では、ほとんど、出来なかったのですが、家で復習したので、ここにメモしときます。
尚、解答は間違っている場合も十分ありますので、ご了承ください。

(1) Xについての1次方程式　aX - 4 = X + 2の解が2であるとき、aの値を求めなさい。

aX - 4 = X + 2でXに2を代入

a2 - 4 = 2 + 2

a2 - 4 = 4

a2 = 4 + 4

a2 = 8

a = 8/2 = 4

(2) 大人と中学生と小学生、合わせて40人で動物園に行きました。それぞれ1人あたりの動物園の入園料は、大人500円、中学生200円、小学生100円です。入園料の総額が7100円であり、小学生の人数が21人であるとき、大人の人数を求めなさい。

とりあえず、大人の人数をx、中学生の人数をy、小学生の人数をzとします。
すると、

x + y + z = 40
500x + 200y + 100z = 7100

zは21なのでこれを代入します。

x + y + 21 = 40
500x + 200y + 2100 = 7100

x + y = 19
500x + 200y = 5000

この連立方程式を解くと

500x + 200y = 5000
200x + 200y = 3800

300x = 1200
x = 12 / 3 = 4

(3) 立方体のさいころを2個同時に振ったとき、出た目の和が8になる確率を分数で求めなさい。

1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6

2つのサイコロででるパターンは6*6で36パターンです。
8になるパターンは 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2の5パターンです。
よって確率は　5/36かな？

(4) 1辺の長さがXcmの正方形があります。この正方形の縦の辺を2cm、横の辺を4cmそれぞれ伸ばしてできた長方形の面積が、もとの正方形の面積の3倍になりました。もとの正方形の面積をもとめなさい。

(X + 4)(X + 2) = 3X^2

X^2 + 6X + 8 = 3X^2

0 = 2X^2 - 6X -8

0 = 2(X^2 - 3X - 4)

0 = 2(X - 4)(X + 1)

よって、X = 4で、面積は 4*4 = 16cm^2

(5) 右図の四角形ABCDで∠A=90°、∠B=75°、∠C=60°です。AB=AD=6cmのとき四角形ABCDの面積を求めなさい。

まず、三角形ABDの面積を求めます。
6 * 6 / 2 = 18cm^2

つぎに、辺DBを求めます。
BD^2 = 6^2 + 6^2 = 72

BD = √72

また、三角形BCDは、30°60°90°の三角形なので辺の長さの比は 1:2:√3です。
よって、CD : BD は 1 : √3 = CD : √72で、CDは、√24です。

つぎに、三角形BCDの面積を求めます。

BD*CD/2

√72*√24/2 = 12√3cm^2

四角形ABCDの面積は、三角形ABD + 三角形BCDなので

18 + 12√3cm^2