燈明ブログ

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ピタゴラスの定理・三角関数・ルート計算方法

大学受験の次男から、この問題、教えてくれと言われ、全く分からなかったのが以下の問題です。


『三角形でA角が45度、B角が75度、C角が60度で、BCの長さが√6のとき、ACの長さを求めよ』

この問題を解くには、学生時代からの時間(約35年間)が経ちすぎていて、3つのツールピタゴラスの定理三角関数、ルート計算方法)をすっかり忘れていたのです。


なので、この問題を解く前に、この3つのツールを復習します。

ピタゴラスの定理三平方の定理とも呼ばれる)

直角三角形で、一番長い辺(c)の長さの2乗は、他の2辺(aとb)の長さの2乗の和に等しい。
詳しくは、『ピタゴラスの定理』で検索してみてください。
とりあえず、以下の公式だけは、暗記してください。
c**2 = a**2 + b**2
ちなみに『**』はべき乗です。

三角関数

sin-サイン・cos-コサイン・tan-タンジェントのことです。
詳しくは、『三角関数』で検索してみてください。
とりあえず、以下の値だけは、暗記してください。

sin30°= 1/2
sin45°= 1/√2
sin60°= √3/2


ルート計算方法基本

√a * √b = √ab
√a + √b != √a+b
要は、√記号の中では、掛け算と割り算は整数と同じようにできるけど足し算と引き算はできないの・・・です。


ここからは、上記3つのツールを使って、当初の問題を解いていきます。

まず、図のようにBからDのような垂直線を引きます。

はじめにCDの長さをyとして求めます。
まず、三角形の3つの角の和は、必ず180°になります。(実はコレすら忘れていた)
ですので、B角は、180°- (90°+ 60°) と 180° - (90°+ 45°)で 30°と45°に分かれます。
y/√6 = sin30°
y/√6 = 1/2
y = √6/2


つぎにBDの長さをxとして求めます。
√6**2 = (√6/2)**2 + x**2
x**2 = √6**2 - (√6/2)**2
x**2 = 6 - 6/4
x**2 = 24/4 - 6/4
x**2 = 18/4
x = √18/√4

BDは二等辺三角形ABDの二等の一辺なので、BDとADはイコールです。
したがって

AC = y + x
AC = √6/2 + √18/√4
AC = √6/2 + 3√2/2

最終的な答え(あっているかな・・・)

AC = (√6 + 3√2) / 2


尚、今回は、ピタゴラスの定理ツールとして、解きましたが、別ツール正弦定理を用いても解く事ができます。
正弦定理での解答については、次回につづきます。たぶん・・・。